Question

拋物線(xiàn)C的方程為y=ax²（a＜0），過(guò)拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率為k₁，k₂的兩條直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)C于
A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）兩點(diǎn)（P，A，B三點(diǎn)互不相同），且滿(mǎn)足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AB上一點(diǎn)M，滿(mǎn)足

BM

=λ

MA

，證明線(xiàn)段PM的中點(diǎn)在y軸上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線(xiàn)C的方程y=ax²（a＜0）得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，

1

4a

)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-

1

4a

．
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)PA的方程為y-y₀=k₁（x-x₀），直線(xiàn)PB的方程為y-y₀=k₁（x-x₀）．點(diǎn)P（x₀，y₀）和點(diǎn)A（x₁，y₁）的坐標(biāo)是方程組

y-y0=k1(x-x0)① y=ax2②

的解．于是x1+x0=

k1

a

，故x1=

k1

a

-x0，又點(diǎn)P（x₀，y₀）和點(diǎn)B（x₂，y₂）的坐標(biāo)是方程組

y-y0=k2(x-x0)④ y=ax2⑤

的解．于是x2+x0=

k2

a

，故x2=

k2

a

-x0．由此能夠證明線(xiàn)段PM的中點(diǎn)在y軸上．

解答：解：（Ⅰ）由拋物線(xiàn)C的方程y=ax²（a＜0）得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，

1

4a

)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-

1

4a

．
（Ⅱ）證明：設(shè)直線(xiàn)PA的方程為y-y₀=k₁（x-x₀），直線(xiàn)PB的方程為y-y₀=k₁（x-x₀）．
點(diǎn)P（x₀，y₀）和點(diǎn)A（x₁，y₁）的坐標(biāo)是方程組

y-y0=k1(x-x0)① y=ax2②

的解．
將②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，于是x1+x0=

k1

a

，故x1=

k1

a

-x0③
又點(diǎn)P（x₀，y₀）和點(diǎn)B（x₂，y₂）的坐標(biāo)是方程組

y-y0=k2(x-x0)④ y=ax2⑤

的解．
將⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0．于是x2+x0=

k2

a

，故x2=

k2

a

-x0．
由已知得，k₂=-λk₁，則x2=-

λ

a

k1-x0．　　⑥
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x_M，y_M），由

BM

-λ

MA

，則xM=

x2+λx1

1+λ

．
將③式和⑥式代入上式得xM=

-x0-λx0

1+λ

=-x0，即x_M+x₀=0．
∴線(xiàn)段PM的中點(diǎn)在y軸上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程的求法，證明線(xiàn)段PM的中點(diǎn)在y軸上．解題時(shí)要熟練掌握拋物線(xiàn)的性質(zhì)，認(rèn)真審題，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．