Question

（2013•鎮(zhèn)江二模）如圖，設A，B分別為橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點，過原點O作直線交線段AB于點M（異于點A，B），交橢圓于C，D兩點（點C在第一象限內(nèi)），△ABC和△ABD的面積分別為S₁與S₂．
（1）若M是線段AB的中點，直線OM的方程為y=

1

3

x，求橢圓的離心率；
（2）當點M在線段AB上運動時，求

S1

S2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由中點坐標公式求出A，B的中點M，把M坐標代入直線y=

x

3

得到a與b的關系，結合a²=b²+c²可求橢圓的離心率；
（2）設出C和D點的坐標，求出直線AB的方程，由點到直線的距離公式求出C和D到直線AB的距離，因為△ABC和△ABD同底，所以把兩個三角形的面積比轉化為C，D到直線AB的距離比，然后借助于基本不等式求最小值．

解答：解：（1）由題設，得A（a，0），B（0，b），則點M（

a

2

，

b

2

）．
因為點M在直線y=

x

3

上，所以

b

2

=

a 2

3

，則b=

a

3

．
從而c=

a2-b2

=

a2- a2 9

=

2 2 a

3

，
故橢圓的離心率e=

c

a

=

2 2

3

．
（2）設C（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），則

x02

a2

+

y02

b2

=1，D（-x₀，-y₀）．
由題設，直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0．
因為點C在直線AB的上方，
所以點C到直線AB的距離hc=

|bx0+ay0-ab|

a2+b2

=

bx0+ay0-ab

a2+b2

．
同理可得點D到直線AB的距離hD=

|-bx0-ay0-ab|

a2+b2

=

|bx0+ay0+ab|

a2+b2

=

bx0+ay0+ab

a2+b2

．
因為

x02

a2

+

y02

b2

=1，即b2x02+a2y02=a2b2，且bx₀＞0，ay₀＞0．
所以bx0+ay0≤2

b2x02+a2y02 2

=2

a2b2 2

=

2

ab．
當且僅當bx₀=ay₀時等號成立．
由

b2x02+a2y02=a2b2 bx0=ay0

，得

x0= 2 2 a y0= 2 2 b

．
因此，

S1

S2

=

hC

hD

=

bx0+ay0-ab

bx0+ay0+ab

=1-

2ab

bx0+ay0+ab

≤1-

2ab

2 ab+ab

=3-2

2

．
所以，當

x0= 2 2 a y0= 2 2 b

時，

S1

S2

取得最大值，最大值為3-2

2

．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關系，突出考查了數(shù)形結合和等價轉化等數(shù)學思想方法，解答此題的關鍵是運用線性規(guī)劃的知識去掉點到直線的距離中的絕對值．屬難題．