在平面α內(nèi)有直徑為AB的⊙O,若SA⊥α且使∠SBA=30°,在⊙O上的點M使∠MAB=θ,又知點A在SB、SM上的射影P、Q使∠APQ=φ,如右圖所示.求證:

(1)SB⊥平面APQ;

(2)tanθ·tanφ=2.

證明:(1)∵AQ在α內(nèi)的射影AM⊥BMAQ⊥BM.

    又AQ⊥SM,

∴AQ⊥面SBMAQ⊥PQ,AQ⊥SB.

∴SB⊥面APQ.

(2)∵AM⊥BM,AQ⊥PQ,

∴tanθ=,tanφ=.

∵Rt△SPQ∽Rt△SMB,

∴PQ=.

    又∵在Rt△SAM中,AQ=,

∴tanφ=.

∴tanθ·tanφ=.

∵在Rt△SPA中,=csc30°,

∴tanθ·tanφ=2.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知二面角α-l-β的平面角為45°，在半平面α內(nèi)有一個半圓O，其直徑AB在l上，M是這個半圓O上任一點（除A、B外），直線AM、BM與另一個半平面β所成的角分別為θ1、θ2．試證明cos2θ1+cos2θ2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，平面α內(nèi)有一以AB為直徑的圓，PA⊥α,點C在圓周上動（不與A、B重合），點D、E分別是A在PC、PB上的射影，下面結(jié)論:

①∠AED是二面角A—PB—C的平面角;

②∠ACD是二面角P—BC—A的平面角;

③∠EDA是二面角A—PC—B的平面角;

④∠BAC是二面角B—PA—C的平面角;

⑤∠PAC是二面角P—AB—C的平面角.

其中正確結(jié)論的序號是____________________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示,平面α內(nèi)有一以AB為直徑的圓,PA⊥α,點C在圓周上移動(不與A、B重合),點D、E分別是A在PC、PB上的射影.有下面結(jié)論：

①∠AED是二面角A-PB-C的平面角；

②∠ACD是二面角P-BC-A的平面角；

③∠EDA是二面角A-PC-B的平面角；

④∠BAC是二面角B-PA-C的平面角；

⑤∠PAC是二面角P-AB-C的平面角.

其中正確結(jié)論的序號是__________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

有編號為,,…的10個零件，測量其直徑（單位：cm），得到下面數(shù)據(jù)：


其中直徑在區(qū)間[1.48，1.52]內(nèi)的零件為一等品。

（Ⅰ）從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率；

（Ⅱ）從一等品零件中，隨機抽取2個.

     （�。┯昧慵木幪柫谐鏊锌赡艿某槿〗Y(jié)果；

     （ⅱ）求這2個零件直徑相等的概率。本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率等基礎知識，考查數(shù)據(jù)處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力。滿分12分

【解析】（Ⅰ）解：由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個.設“從10個零件中，隨機抽取一個為一等品”為事件A，則P（A）==.

      （Ⅱ）（i）解：一等品零件的編號為.從這6個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的結(jié)果有：,,,

,,,共有15種.

      (ii)解：“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結(jié)果有：，，共有6種.

      所以P(B)=.

（本小題滿分12分）

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.

（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；      

（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；

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