Question

已知曲線C：（t²-1）x²+t²y²=t⁴-t²（t≠0，t≠±1）以下結(jié)論正確的是

 

（寫出所有正確結(jié)論的序號）
①曲線C有可能是圓；
②曲線C有可能是拋物線；
③當(dāng)t＜-1或t＞1，曲線C是橢圓；
④若曲線C是雙曲線，則0＜t＜1；
⑤不論t為何值，曲線C有相同的焦點．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：將曲線C化為標(biāo)準(zhǔn)方程，對分母考慮，由于t²≠t²-1，則曲線C不表示圓，即可判斷①；由于t²≠0，t²-1≠0，
即可判斷②；若為橢圓，則有t²＞0，且t²-1＞0，解不等式即可判斷③；若曲線C表示雙曲線，則t²＞0且t²-1＜0，解不等式即可判斷④；分別討論橢圓方程和雙曲線方程，求得焦點，即可判斷⑤．

解答： 解：曲線C：（t²-1）x²+t²y²=t⁴-t²（t≠0，t≠±1），
即為

x2

t2

+

y2

t2-1

=1，
對于①，由于t²≠t²-1，則曲線C不表示圓，則①錯；
對于②，由于t²≠0，t²-1≠0，則曲線C不可能表示拋物線，則②錯；
對于③，若為橢圓，則有t²＞0，且t²-1＞0，解得t＞1或t＜-1，則③對；
對于④，若曲線C表示雙曲線，則t²＞0且t²-1＜0，解得-1＜t＜0或0＜t＜1，則④錯；
對于⑤，若曲線C表示橢圓，由t²＞t²-1，則焦點在x軸上，且為（±1，0），
若曲線C為雙曲線，則方程為

x2

t2

-

y2

1-t2

=1，則焦點在x軸上，且為（±1，0），則⑤對．
故答案為：③⑤．

點評：本題考查方程表示的曲線的形狀，考查圓的方程以及圓錐曲線的方程和性質(zhì)，考查不等式的解法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．