Question

設函數f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（1）當x∈[，]，求函數f（x）的值域；
（2）若f（）=，θ∈（0，π），求cos2θ的值．

Answer 1

解：∵sinxcosx=sin2x，cos²x=（1+cos2x）
∴f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1．
由此可得f（x）=sin（2x+）+1
（1）∵x∈[，]，∴2x+∈[，]
由此可得，當2x+=，即x=時函數的最大值為1+
當2x+=，即x=時函數的最小值為1+=．
∴當x∈[，]，函數f（x）的值域為[1+，1+]
（2）由f（）=sin（θ+）+1=，得sin（θ+）=
∵θ∈（0，π），得θ+∈（，）
∴結合sin（θ+）=且為正數，得θ+∈（，π）
因此cos（θ+）==
∴cosθ=cos[（θ+）-]=×+×=
可得cos2θ=2cos²θ-1=2×-1=．
分析：（1）利用二倍角三角函數公式，結合輔助角公式化簡整理得f（x）=sin（2x+）+1，再討論得出2x+∈[，]，結合三角函數的圖象與性質即可得到函數f（x）的值域；
（2）代入（1）中的表達式，由f（）=得sin（θ+）=，結合θ∈（0，π）算出cos（θ+）=，再利用配角得到cosθ=cos[（θ+）-]=，最后利用二倍角余弦公式即可得到cos2θ的值．
點評：本題給出三角函數表達式，求函數值域并求三角函數值，著重考查了三角恒等變形、三角函數的圖象與性質等知識點，屬于中檔題．