Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（x-

π

4

）+

3

cos2x-3，x∈[

π

4

，

π

2

]
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若方程f（x）=m僅有一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：常規(guī)題型

分析：第（1）問，首先要把函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)x的取值范圍求函數(shù)的最大值與最小值；
第（2）問要把方程解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求解．

解答： 解：（1）f（x）=2sin²（x-

π

4

）+

3

cos2x-3
=-cos（2x-

π

2

）+

3

cos2x-2   
=

3

cos2x-sin2x-2
=2cos（2x+

π

6

）-2
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]
∴當(dāng)2x+

π

6

=

2π

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值-1，
  當(dāng)2x+

π

6

=π時(shí)，函數(shù) f（x）取最小值-4．
（2）方程f（x）=m僅有一解，則函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=m的圖象僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
  畫出圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)-

3

-2＜m≤-3或m=-4兩個(gè)圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．
  所以m的取值范圍為-

3

-2＜m≤-3或m=-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三解函數(shù)的最值求法，關(guān)鍵是化成標(biāo)準(zhǔn)形式；研究方程解的個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題解決，考查了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的思想．