Question

如下圖，設(shè)P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是曲線y=上的點(diǎn)列，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n,…是x軸正半軸上的點(diǎn)列，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n,…都是正三角形，設(shè)它們的邊長(zhǎng)為a₁,a₂,…,a_n,…,求證：a₁+a₂+…+a_n=n(n+1).

Answer 1

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，點(diǎn)P₁是直線y=x與曲線y=的交點(diǎn)，

∴可求出P₁（）.

∴a₁=|OP₁|=.而×1×2=,命題成立.

（2）假設(shè)n=k(k∈N^*)時(shí)命題成立，即a₁+a₂+…+a_k=k(k+1),則點(diǎn)Q_k的坐標(biāo)為（k(k+1),0）,

∴直線Q_kP_k+1的方程為y=［x-k(k+1)］.代入y=,解得P_k+1點(diǎn)的坐標(biāo)為(,(k+1)).

∴a_k+1=|Q_kP_k+1|=(k+1)·=(k+1).

∴a₁+a₂+…+a_k+a_k+1=k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+2).

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立.

由（1）、（2）,可知命題對(duì)所有正整數(shù)都成立.