已知函數(shù)f(x)=
1
x
-log2
1+x
1-x

(1)求f(
1
2
)
;
(2)求函數(shù)f(x)的定義域;
(3)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.
分析:(1)由f(x)的解析式可得f(
1
2
)=2-log2
1+
1
2
1-
1
2
,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),計(jì)算求得結(jié)果.
(2)由函數(shù)的解析式可得
x≠0
1+x
1-x
>0
,解得x的范圍,即可得到函數(shù)的定義域.
(3)由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且滿足f(-x)=-f(x),可得f(x)在定義域內(nèi)為奇函數(shù).
解答:解:(1)由f(x)的解析式可得f(
1
2
)=2-log2
1+
1
2
1-
1
2
=2-log23.
(2)由函數(shù)的解析式可得  
x≠0
1+x
1-x
>0
,…(3分)
解得-1<x<1,故函數(shù)的定義域?yàn)?{x|-1<x<1且x≠0}.…(6分)
(3)由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且滿足f(-x)=-
1
x
-log2
1-x
1+x
=-
1
x
+log2(
1-x
1+x
)
-1
=-(
1
x
-log2
1+x
1-x
)=-f(x)
,…(11分)
所以f(x)在定義域內(nèi)為奇函數(shù).…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查求函數(shù)的值,求函數(shù)的定義域,判斷函數(shù)的奇偶性的方法,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( �。�
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1,x∈Q
0,x∉Q
,則f[f(π)]=( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx(a>0)

(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)當(dāng)a=1時(shí),求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
π
6
),其中x∈R,則下列結(jié)論中正確的是( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1+logax(a>0,a≠1),滿足f(9)=3,則f-1(log92)的值是(  )

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