Question

. f(x)=

（Ⅰ）求證： ;

（Ⅱ）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）證明：，則，設(shè)，則，                          ………………………2分

當(dāng)時，，即為增函數(shù)，所以，

即在時為增函數(shù)，所以              ………………………4分

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知時，，，所以，                                 ………………………6分

設(shè)，則，設(shè)，則，

當(dāng)時，所以為增函數(shù)，所以，所以為增函數(shù)，所以，所以對任意的恒成立.                                                         ………………………8分

又，時，，所以時對任意的恒成立.                                                                ………………………9分

當(dāng)時，設(shè)，則，

，所以存在實數(shù)，使得任意，均有，所以在為減函數(shù)，所以在時，所以時不符合題意.

綜上，實數(shù)的取值范圍為.                           …………………………12分

（Ⅱ）解法二：因為等價于…………6分

設(shè)，

則

可求，                              ……………………………8分

所以當(dāng)時，恒成立，在是增函數(shù)，

所以，即，即

所以時，對任意恒成立�！�…………………………9分

當(dāng)時，一定存在，滿足在時，，所以在是減函數(shù)，

此時一定有，即，即，不符合題意，故不能滿足題意，

綜上所述，時，對任意恒成立。……………………12分