(2012•菏澤一模)已知函數(shù)f(x)=(x2-3x+3)ex,x∈[-2,t](t>-2).
(Ⅰ)當(dāng)t<1時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)f(-2)=m,f(t)=n,求證m<n;
(Ⅲ)設(shè)g(x)=f(x)+(x-2)ex,判斷并證明是否存在區(qū)間[a,b](a>1)使函數(shù)y=g(x)在[a,b]上的值域也是[a,b].
分析:(Ⅰ)由f(x)=(x2-3x+3)ex,x∈[-2,t](t>-2),知f′(x)=(2x-3)ex+ex(x2-3x+3)=exx(x-1).由此能求出當(dāng)t<1時(shí),函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)m=f(-2)=13e-2,n=f(t)=(t2-3t+3)et,設(shè)h(t)=n-m=(t2-3t+3)et-13e-2,故h′(t)(2t-3)et+et(t2-3t+3)=et(t2-3t+3),列表討論知h(t)的極小值為h(1)=e-
13
e2
=
e3-13
e2
>0,由此能夠證明n>m.
(Ⅲ)由g(x)=(x2-3x+3)ex+(x-2)ex=(x2-2x+1)ex=(x-1) 2 ex,知g′(x)=(2x-2)ex+ex(x2-2x+1)=ex(x2-1),設(shè)x>1時(shí),存在[a,b],使y=g(x)在[a,b]上的值域也是[a,b].由此能夠推導(dǎo)出不存在區(qū)間[a,b]滿(mǎn)足題意.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=(x2-3x+3)ex,x∈[-2,t](t>-2),
∴f′(x)=(2x-3)ex+ex(x2-3x+3)=x(x-1)ex
①當(dāng)-2<t≤0時(shí),x∈(-2,t),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
②當(dāng)0<t<1時(shí),x∈(-2,0),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
x∈(0,t),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)-2<t≤0時(shí),y=f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,t);
當(dāng)0<t<1時(shí),y=f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,0),減區(qū)間為(0,t).
(Ⅱ)m=f(-2)=13e-2,n=f(t)=(t2-3t+3)et
設(shè)h(t)=n-m=(t2-3t+3)et-13e-2,
∴h′(t)(2t-3)et+et(t2-3t+3)=et(t2-3t+3)
=ett(t-1),(t>-2).
h(t),h′(t)隨t變化如下表:
 t  (-2,0)  0  (0,1)  1  (1,+∞)
 h′(t) +  0 -  0 +
 h(t)  極大值  極小值
由上表知h(t)的極小值為h(1)=e-
13
e2
=
e3-13
e2
>0,
又h(-2)=0,
∴當(dāng)t>-2時(shí),h(t)>h(-2)>0,即h(t)>0.
因此,n-m>0,即n>m.
(Ⅲ)g(x)=(x2-3x+3)ex+(x-2)ex=(x2-2x+1)ex=(x-1) 2 ex,
g′(x)=(2x-2)ex+ex(x2-2x+1)=ex(x2-1),
設(shè)x>1時(shí),存在[a,b],使y=g(x)在[a,b]上的值域也是[a,b].
因?yàn)閤>1時(shí),g′(x)>0,所以y=g(x)單調(diào)遞增.
故應(yīng)有
g(a)=(a-1)2ea=a
g(b)=(b-1)2eb=b
,
即方程(x-1)2ex=x有兩個(gè)大于1的不等根,
設(shè)∅(x)=(x-1)2ex-x,(x>1),
∅′(x)=ex(x2-1)-1,
設(shè)k(x)=ex(x2-1)-1,(x>1),k′(x)=ex(x2+2x-1),
當(dāng)x>1時(shí),k′(x)>0,即k(x)在(1,+∞)遞增,
又k(1)=-1<0,k(2)=3e2-1>0.
∴x∈(1,2)存在唯一的x0,使k(x0)=0.
即存在唯一的x0,使∅  (x0)=0.
∅(x),∅′(x)隨x的變化如下表:
 x  (1,x0  x0  (x0,+∞)
∅(x) -  0 +
∅′(x)  極小值
由上表知,∅(x0)<∅(1)=-1<0,
∅(2)=e2-2>0,
故y=∅(x)的大致圖象如圖,
因此∅(x)在(1,+∞)只能有一個(gè)零點(diǎn),
這與∅(x)=0有兩個(gè)大于1的不等根矛盾,
故不存在區(qū)間[a,b]滿(mǎn)足題意.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查不等式的證明,探索滿(mǎn)足條件的區(qū)間是否存在.綜合性強(qiáng),難度大,具有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
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