Question

13．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），F(xiàn)（c，0）為橢圓右焦點(diǎn)，A為橢圓左頂點(diǎn)，且b²=ac，P為橢圓上不同于A的點(diǎn)，則使$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PF}$=0的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓a，b，c，可得F，A的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），根據(jù)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PF}$=0和點(diǎn)P在橢圓上，解得即可得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：由題意可知：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)P（x，y），
則F（c，0），A（-a，0），
由$\overrightarrow{PA}$=（-a-x，-y），$\overrightarrow{PF}$=（c-x，-y），
由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PF}$=0，則（-a-x）（c-x）+y²=0，
-ac+（a-c）x+x²+y²=0，
由P在橢圓上，y²=b²（1-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$），
∴-ac+（a-c）x+x²+b²（1-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$）=0，
由b²=ac，
∴（1-$\frac{c}{a}$）x²+（a-c）x=0
解得：x=0，x=-a，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=±b，
當(dāng)x=-a時(shí)，y=0，
∵P為橢圓上不同于A的點(diǎn)，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，b）或（0，-b），
∴使$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PF}$=0的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及向量的數(shù)量積公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．