Question

在△ABC中，若三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列且A＜B＜C，則cosAcosC的取值范圍是（　�。�

• A、(-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ]
• B、[-

  3

  4

  ，

  1

  4

  ]
• C、（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ）
• D、（-

  3

  4

  ，

  1

  4

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由三角形的知識(shí)易得B=

π

3

，C=

2π

3

-A，A∈（0，

π

3

），進(jìn)而可得cosAcosC=

1

2

sin（2A-

π

6

）-

1

4

，由角的范圍和三角函數(shù)的知識(shí)可得．

解答： 解：∵在△ABC中，若三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列且A＜B＜C，
∴A+B+C=π，2B=A+C，解得B=

π

3

，C=

2π

3

-A，A∈（0，

π

3

），
∴cosAcosC=cosAcos（

2π

3

-A）=cosA（-

1

2

cosA+

3

2

sinA）
=-

1

2

cos²A+

3

2

sinAcosA=

1

2

sin（2A-

π

6

）-

1

4

∵A∈（0，

π

3

），∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

π

2

），
∴sin（2A-

π

6

）∈（-

1

2

，1），
∴

1

2

sin（2A-

π

6

）-

1

4

∈（-

1

2

，

1

4

）
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的取值范圍，涉及等差數(shù)列和三角形的知識(shí)，屬基礎(chǔ)題．