巳知橢圓的離心率是.
⑴若點P(2,1)在橢圓上,求橢圓的方程;
⑵若存在過點A(1,0)的直線,使點C(2,0)關(guān)于直線的對稱點在橢圓上,求橢圓的焦距的取值范圍.
⑴;⑵橢圓的焦距的取值范圍是.
解析試題分析:⑴,,再將點的坐標代入橢圓的方程,這樣便有三個方程,三者聯(lián)立,即可求出,從而得橢圓的方程.⑵顯然斜率不存在或斜率等于0時,不可能滿足題意.故可設(shè)直線l的方程為:,這樣可將點C(2, 0)關(guān)于直線l的對稱點的坐標用表示出來,然后代入橢圓的方程,從而得一關(guān)于的方程:.設(shè),因此原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有正根.根據(jù)二次方程根的分布可得.進而求得橢圓的焦距的取值范圍.
試題解析:⑴,
∵點P(2,1)在橢圓上,∴ 5分
⑵依題意,直線l的斜率存在且不為0,則直線l的方程為:.
設(shè)點C(2, 0)關(guān)于直線l的對稱點為,則
若點在橢圓上,則
設(shè),因此原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有正根.
①當時,方程一定有正根;
②當時,則有
∴綜上得.
又橢圓的焦距為.
故橢圓的焦距的取值范圍是(0,4] 13分
考點:1、橢圓的方程;2、直線與橢圓.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的一個頂點和兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線與橢圓交于、兩點,試問,是否存在軸上的點,使得對任意的,為定值,若存在,求出點的坐標,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖已知拋物線:過點,直線交于,兩點,過點且平行于軸的直線分別與直線和軸相交于點,.
(1)求的值;
(2)是否存在定點,當直線過點時,△與△的面積相等?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
拋物線,直線過拋物線的焦點,交軸于點.
(1)求證:;
(2)過作拋物線的切線,切點為(異于原點),
(i)是否恒成等差數(shù)列,請說明理由;
(ii)重心的軌跡是什么圖形,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓:()的右焦點,右頂點,且.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若動直線:與橢圓有且只有一個交點,且與直線交于點,問:是否存在一個定點,使得.若存在,求出點坐標;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的短半軸長為,動點在直線(為半焦距)上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求以為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程;
(3)設(shè)是橢圓的右焦點,過點作的垂線與以為直徑的圓交于點,
求證:線段的長為定值,并求出這個定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖;已知橢圓C:的離心率為,以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:設(shè)圓T與橢圓C交于點M、N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的最小值,并求此時圓T的方程;
(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與軸交于點R,S,O為坐標原點。求證:為定值.
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