Question

線段AB過x軸正半軸上一定點(diǎn)M（m，0），兩端點(diǎn)A、B到x軸的距離之積為2m，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)作拋物線．
（1）求這條拋物線方程；
（2）若∠AOB=

3π

4

，求m的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線方程、直線AB的方程，聯(lián)立這兩個(gè)方程組消去x，利用兩端點(diǎn)A、B到x軸的距離之積為2m，可求m的值，從而可得拋物線方程；
（2）利用tan（∠AOM+∠BOM）=-1，結(jié)合韋達(dá)定理，確定k、m的關(guān)系式，從而可得不等式，由此可求m的最大值．

解答：解：（1）可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-m）（k≠0）…（2分）
聯(lián)立這兩個(gè)方程組消去x得，ky²-2py-2pkm=0，…（4分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得|y₁|•|y₂|=2m，注意到y(tǒng)₁•y₂＜0，所以y₁•y₂=-2m，
又y₁•y₂=-2pm，所以-2m=-2pm，因?yàn)閙＞0，所以p=1．
所以拋物線方程為y²=2x；…（6分）
（2）因?yàn)?span id="zrugj2l" class="MathJye">∠AOB=

3π

4

，所以tan∠AOB=-1，即tan（∠AOM+∠BOM）=-1
又tan∠AOM=

y1

x1

=

2

y1，

，tan∠BOM=

-y2

x2

=-

2

y2

，
所以

2 y1 +(- 2 y2 )

1- 2 y1 •(- 2 y2 )

=-1，
整理得y₁y₂+4=2（y₁-y₂）．…（8分）
因?yàn)閥₁y₂=-2m，所以y₁-y₂=2-m＞0，從而(y1-y2)2=(2-m)2，
即(y1-y2)2-4y1y2=(2-m)2，所以(

2

k

)2+8m=(2-m)2，即

4

k2

=m2-12m+4，
因此m²-12m+4＞0，…（10分）
又當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，y₁+y₂=0，所以8m=（2-m）²，即m²-12m+4=0，
于是m²-12m+4≥0，且0＜m＜2，解之不等式組得到0＜m≤6-4

2

．
故m的最大值是6-4

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查解不等式，屬于中檔題．