Question

【題目】如圖，在矩形中，,,是的中點(diǎn)，將沿向上折起，使平面平面

(Ⅰ)求證：;

(Ⅱ)求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(Ⅰ）見解析；

(Ⅱ) 90°.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得，的值，可推出，根據(jù)平面⊥平面且是交線，即可證明⊥平面，從而證明；(Ⅱ) 設(shè)中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連接，可推出，則⊥平面，即可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角的余弦公式即可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）證明：由題意可知，,.

∴在中 ,,所以；

∵平面⊥平面且是交線，平面

∴⊥平面

∵平面

∴.

(Ⅱ) 解：設(shè)中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連接.

∴

∴⊥平面

∴，.

∵

∴

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

則，從而, , .

設(shè)為平面的法向量，則，可以取.

設(shè)為平面的法向量，則可以取.

因此，，有，即平面⊥平面.

故二面角的大小為90°.