如圖，已知四棱錐S-ABCD中，△SAD是邊長為a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，P為AD的中點，Q為SB的中點．
（1）求證：PQ∥平面SCD；
（2）求二面角B-PC-Q的余弦值．

【答案】分析：（1）取SC中點R，連接QR，DR，根據(jù)線面平行的判定定理，在平面上找出一條直線與已知直線平行，即證PQ∥DR，從而有PQ∥面SCD；
（2）以P為坐標原點，PA為x軸，PB為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標系，只要求得兩半平面的一個法向量即可，先求得相關(guān)點的坐標，進而得到相關(guān)向量的坐標，然后用向量的夾角公式求解．
解答：（1）證明：取SC中點R，連接QR，DR，

由題意知OD∥BC且OD=BC，QR∥BC且QR=BC，
∴QR∥OD且QR=OD
∴四邊形PDRQ為平行四邊形
∴PQ∥DR，又PQ?平面SCD，DR?平面SCD
∴PQ∥平面SCD；
（2）解：以P為坐標原點，PA為x軸，PB為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標系，
則S（0，0，），B（0，，0），C（-a，，0），Q（0，，）
平面PBC的法向量為=（0，0，）
設(shè)=（x，y，z）為平面PQC的一個法向量
由得，取，得=（_
∴cos＜，＞==
∵二面角B-PC-Q的平面角為銳角
∴二面角D-OC-Q的余弦值為
點評：本題主要考查線線，線面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化及平面圖形的應(yīng)用，還考查了向量法在求二面角中的應(yīng)用，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，SA⊥平面ABCD，SA=2，E是側(cè)棱SC上的一點．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內(nèi)，SO的長為3，O到AB，AD的距離分別為2和1，P是SC的中點．
（Ⅰ）求證：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)Q是棱SA上的一點，若
AQ
=
3
4
AS
，求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成，其中SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，且二面角S-CD-A的大小為120°．
（Ⅰ）求證：平面ASD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱SC和底面ABCD所成角為θ，求θ的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•湖北模擬）如圖，已知四棱錐S-ABCD中，△SAD是邊長為a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，P為AD的中點，Q為SB的中點．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-Q的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•江西模擬）（如圖）已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形，將面SAB，SAD，ABCD 展開成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC．
（1）求證：在四棱錐S-ABCD中AB⊥SD．
（2）若AC長等于6，求異面直線AB與SC之間的距離．

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