Question

（1）已知兩個(gè)等比數(shù)列{a_n}，{b_n}，滿足a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3，若數(shù)列{a_n}唯一，求a的值；
（2）是否存在兩個(gè)等比數(shù)列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不 為0的等差數(shù)列？若存在，求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3表示出b₁，b₂，b₃，根據(jù)b₁，b₂，b₃成等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)與公比的關(guān)系式，把q看作未知數(shù)，根據(jù)a大于0得出根的判別式大于0，進(jìn)而得到方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，又?jǐn)?shù)列{a_n}唯一，得到方程必有一根為0，把q=0代入方程即可得到關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）利用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)存在，分別設(shè)出兩等比數(shù)列的公比，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄成公差不為0的等差數(shù)列，列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)后分別求出兩等比數(shù)列的首項(xiàng)及公比，分別求出b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄的公差為0，與已知的公差不為0矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，進(jìn)而得到不存在兩個(gè)等比數(shù)列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不 為0的等差數(shù)列．

解答：解：（1）設(shè){a_n}的公比為q，
∵a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3，
∴b₁=1+a，b₂=2+aq，b₃=3+aq²，
∵b₁，b₂，b₃成等比數(shù)列，
∴（2+aq）²=（1+a）（3+aq²）即aq²-4aq+3a-1=0，
∵a＞0，
∴△=4a²+4a＞0，
∴方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，
又∵數(shù)列{a_n}唯一，
∴方程必有一根為0，將q=0代入方程得a=

1

3

，
∴a=

1

3

；
（2）假設(shè)存在兩個(gè)等比數(shù)列{a_n}，{b_n}，使b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄成公差不為0的等差數(shù)列，
設(shè){a_n}的公比為q₁，{b_n}的公比為q₂，
則b₂-a₂=b₁q₂-a₁q₁，b₃-a₃=b₁q₂²-a₁q₁²，b₄-a₄=b₁q₂³-a₁q₁³，
由b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄成的等差數(shù)列得：

2(b1q2-a1q1)=b1-a1+(b1q22-a1q12)         2(b1q22-a1q12)=b1q2-a1q1+(b1q23-a1q13)

即

b1(q2-1)2-a1(q1-1)2=0① b1q2(q2-1)2-a1q1(q1-1)2=0②

，
①×q₂-②得：a₁（q₁-q₂）（q₁-1）²=0，
由a₁≠0得：q₁=q₂或q₁=1，
（i）當(dāng)q₁=q₂時(shí)，由①，②得b₁=a₁或q₁=q₂=1，這時(shí)（b₂-a₂）-（b₁-a₁）=0與公差不為0矛盾；
（ii）q₁=1時(shí)，由①，②得b₁=0或q₂=1，這時(shí)（b₂-a₂）-（b₁-a₁）=0與公差不為0矛盾，
綜上所述，不存在兩個(gè)等比數(shù)列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不為0的等差列．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用反證法說(shuō)明命題的真假，是一道中檔題．