已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0處取得極值,且過(guò)原點(diǎn),曲線(xiàn)y=f(x)在P(-1,2)處的切線(xiàn)l的斜率是-3
(1)求f(x)的解析式;
(2)若y=f(x)在區(qū)間[2m-1,m+1]上是增函數(shù),數(shù)m的取值范圍;
(3)若對(duì)任意x1,x2∈[-1,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,求m的最小值.
分析:(1)由函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)求出d的值,由f(0)=0求出c的值,再由曲線(xiàn)y=f(x)在P(-1,2)處的切線(xiàn)l的斜率是-3,列關(guān)于a,b的方程組,解方程組求解a,b的值,則函數(shù)解析式可求;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)y=f(x)在區(qū)間[2m-1,m+1]上是增函數(shù),說(shuō)明區(qū)間[2m-1,m+1]是求出的函數(shù)增區(qū)間的子集,由集合的關(guān)系分類(lèi)列關(guān)于m的不等式組,則m的取值范圍可求;
(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)的最值,對(duì)任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|恒小于等于最大值與最小值差的絕對(duì)值,由此可以求得使不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立的m的最小值.
解答:解:(1)∵曲線(xiàn)y=f(x)過(guò)原點(diǎn),∴d=0.
由f(x)=ax3+bx2+cx+d,得:f'(x)=3ax2+2bx+c,
又x=0是f(x)的極值點(diǎn),∴f'(0)=0,∴c=0,
∵過(guò)點(diǎn)P(-1,2)的切線(xiàn)l的斜率為f'(-1)=3a-2b,
f(-1)=2
f(-1)=-3
,得:
-a+b=2
3a-2b=-3
,解得:
a=1
b=3

故f(x)=x3+3x2
(2)f'(x)=3x2+6x=3x(x+2),
令f'(x)>0,即x(x+2)>0,∴x>0或x<-2
∴f(x)的增區(qū)間為(-∞,-2]和[0,+∞).
∵f(x)在區(qū)間[2m-1,m+1]上是增函數(shù),∴[2m-1,m+1]⊆(-∞,-2]或[2m-1,m+1]⊆[0,+∞);   
m+1≤-2
2m-1<m+1
2m-1≥0
2m-1<m+1

解得:m≤-3或
1
2
≤m<2
;
(3)由(2)知,函數(shù)f(x)在[-1,0]上為減函數(shù),在(0,1]上為增函數(shù).
∵f(0)=0,f(-1)=2,f(1)=4,∴f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值M為4,最小值N為0,
故對(duì)任意x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤M-N=4-0=4,
要使對(duì)任意x1,x2∈[-1,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,則m≥4.
所以,m最小值為4.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)解析式的常用求法,考查了函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的條件,注意的是極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0,考查了函數(shù)在某點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率與該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)的函數(shù)值的差的絕對(duì)值,一定小于等于函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)最大值與最小值差的絕對(duì)值.此題是中檔題.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

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1
4
)
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34
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2x
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