Question

函數f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=log_a（2-x）（a＞1）．
（1）求函數的解析式；
（2）若f（x）的最大值為

1

2

，解關于x∈[-1，1]的不等式f（x）＞

1

4

．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,函數單調性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由偶函數的定義求出[-1，0]上的解析式即可，（2）由最值求出a，利用函數的單調性解不等式．

解答： 解：（1）設x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，
∵函數f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，
∴f（x）=f（-x）=log_a（2+x）．
故f（x）=

loga(2-x)，x∈[0，1] loga (2+x)，x∈[-1，0]

，
（2）∵函數f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，
又∵f（x）=log_a（2-x）（a＞1）在[0，1]上單調遞減．
則f（x）_max=f（0）=

1

2

，
解得，a=4．
則在[0，1]上，不等式f（x）＞

1

4

可化為log₄（2-x）＞

1

4

=log4

2

，
則

2

＜2-x，
解得x＜2-

2

，
同理，

2

-2＜x，
則

2

-2＜x＜2-

2

．

點評：本題考查了奇偶性的應用及利用單調性求最值及不等式的解等，屬于中檔題．