Question

已知拋物線x²=2y的焦點為F，準線為l，過l上一點P，作拋物線的兩條切線，切點分別為A、B，某數(shù)學興趣小組在研究討論中，提出如下兩個猜想：
①直線PA、PB垂直；
②等式

FA

•

FB

=λ 

FP

2中λ為常數(shù)；現(xiàn)請你進行一一驗證這兩個猜想是否成立．

Answer 1

分析：①要證直線PA、PB垂直，只需證相應斜率為-1；
②分別用坐標表示向量，分別計算

FA

•

FB

，

FP

2，可得λ=-1．

解答：解：①由題意，可設(shè)點P（t，-0.5）．A（2a，2a²）．B（2b，2b²）．對2y=x²求導得：y'=x．易知；

2a2+0.5

2a-t

=2a，

2b2+0.5

2b-t

=2b，即a，b滿足2x²+0.5=4x²-2tx．∴2x²-2tx-0.5=0．∴ab=-

1

4

．
又兩切線PA，PB的斜率為2a，2b．而2a×2b=4ab=-1．故PA，PB垂直．
②

FA

=(2a，2a2-

1

2

)，

FB

=(2b，2b2-

1

2

)
∴

FA

•

FB

=4ab-a2-b2+

1

4

+4a2b2=-

1

2

-a2-b2
∵P（a+b，-

1

8

），∴

FP

=(a+b，-

5

8

)，∴

FP

2=(a+b，-

3

2

)
∴

FP

2=

1

2

+a2+b2
∴

FA

•

FB

=-

FP

2
∴λ=-1

點評：本題以拋物線為載體，考查導數(shù)的運用，考查直線的垂直，考查用坐標表示向量，有一定的綜合性．