Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，AP=AB=2，BC=2

2

，E、F、G分別為AD、PC、PD的中點．
（1）求證：FG∥面ABCD
（2）求面BEF與面BAP夾角的大�。�

Answer 1

分析：（1）因為F、G分別為PC、PD的中點，F(xiàn)G∥CD并且FG=

1

2

CD．根據(jù)線面平行的判斷定理可得FG∥平面ABCD．
（2）建立空間坐標系，利用向量的基本運算分別求出面BPA的法向量為：

AD

=(0，2

2

，0)，面BEF的法向量為

m

=（1，

2

，-1），再結(jié)合向量的運算求出兩個向量的夾角，進而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．

解答：解：（1）證明：∵F、G分別為PC、PD的中點，
∴在△PCD中，F(xiàn)G∥CD并且FG=

1

2

CD．
又因為DC?平面ABCD，F(xiàn)G?平面ABCD，
所以FG∥平面ABCD．
（2）分別以AB、AD、AP為空間坐標系的x軸，y軸，z軸，建立空間坐標系B（2，0，0），E（0，

2

，0）

F（1，

2

，1），P（0，0，2），D（0，2

2

，0）
面BPA的法向量為：

AD

=(0，2

2

，0)，設面BEF的法向量為

m

=（x，y，z）
所以

m • BE =0 m • BF =0

，即

-2x+ 2 y=0 -x+ 2 y+z=0

，
令y=

2

，∴m=（1，

2

，-1）
∴面BAP與面BEF的夾角θ的余弦為：cosθ=

m • AD

| m || AD |

=

4

4 2

=

2

2

，
∴θ=

π

4

．
所以面BEF與面BAP夾角的大小為

π

4

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，得到相片關系以及便于建立坐標系，利用向量的有關知識解決空間角、空間距離等問題．