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14.已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-lnx(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f(1),f′(1)的值,求出切線方程即可;(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

解答 解:(Ⅰ)a=2時(shí),f(x)=2x2-2x-lnx,
f′(x)=4x-2-1x,f(1)=0,f′(1)=1,
故切線方程是y=x-1即x-y-1=0;
(Ⅱ)f′(x)=2ax2ax1x,函數(shù)的定義域是(0,+∞),
令g(x)=2ax2-ax-1,
(1)a=0時(shí),g(x)=-1<0,f(x)在(0,+∞)遞減,
(2)a≠0時(shí),△=a2+8a,
(i)若-8≤a<0,△≤0,g(x)≤0,f(x)在(0,+∞)遞減;
(ii)若a>0,△>0,x1=aa2+8a4a<0,x2=a+a2+8a4a>0,
x∈(0,a+a2+8a4a)時(shí),g(x)<0,f(x)遞減,
x∈(a+a2+8a4a,+∞)時(shí),g(x)>0,f(x)遞增;
(iii)若a<-8,△>0,x1=aa2+8a4a>x2=a+a2+8a4a>0,
x∈(0,a+a2+8a4a)時(shí),g(x)<0,f(x)遞減,
x∈(a+a2+8a4a,aa2+8a4a)時(shí),g(x)>0,f(x)遞增,
x∈(aa2+8a4a,+∞)時(shí),g(x)<0,f(x)遞減,
綜上,a<-8時(shí),f(x)在(0,a+a2+8a4a)遞減,
在(a+a2+8a4a,aa2+8a4a)遞增,在(aa2+8a4a,+∞)遞減;
-8≤a<0時(shí),f(x)在(0,+∞)遞減;
a>0,f(x)在(0,a+a2+8a4a)遞減,在(a+a2+8a4a,+∞)遞增.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題,考查函數(shù)的單調(diào)性問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道中檔題.

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