Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時(shí)，求C₁被C₂截得的線段的長(zhǎng)；
（Ⅱ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作C₁的垂線，垂足為A，當(dāng)α變化時(shí)，求A點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時(shí)，C₁的普通方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），C₂的普通方程為x²+y²=1，聯(lián)立方程組，解得C₁與C₂的交點(diǎn)，即可求C₁被C₂截得的線段的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求出A點(diǎn)坐標(biāo)為（sin²α，-cosαsinα），可得普通方程，即可求A點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時(shí)，C₁的普通方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），C₂的普通方程為x²+y²=1．
聯(lián)立方程組，解得C₁與C₂的交點(diǎn)為（1，0）與（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
所以，C₁被C₂截得的線段的長(zhǎng)為1．                  …（5分）
（Ⅱ）將C₁的參數(shù)方程代入C₂的普通方程得t²+2tcosα=0，
∴A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)-cosα，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（sin²α，-cosαsinα）．
故A點(diǎn)軌跡的普通方程為（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$．
化為極坐標(biāo)方程得ρ=cosθ．            …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．