Question

如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點(diǎn)，F在棱AC上，且AF＝3FC．

(1)求三棱錐D－ABC的表面積；

(2)求證AC⊥平面DEF；

(3)若M為BD的中點(diǎn)，問AC上是否存在一點(diǎn)N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點(diǎn)N的位置；若不存在，試說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(證明)(1)因?yàn)?I>AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD． 　　因?yàn)椤?I>BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，所以AD＝AC＝． 　　設(shè)G為CD的中點(diǎn)，則CG＝，AG＝． 　　所以，，． 　　三棱錐D－ABC的表面積為 　　(2)取AC的中點(diǎn)H，因?yàn)?I>AB＝BC，所以BH⊥AC． 　　因?yàn)?I>AF＝3FC，所以F為CH的中點(diǎn)． 　　因?yàn)?I>E為BC的中點(diǎn)，所以EF∥BH．則EF⊥AC． 　　因?yàn)椤?I>BCD是正三角形，所以DE⊥BC． 　　因?yàn)?I>AB⊥平面BCD，所以AB⊥DE． 　　因?yàn)?I>AB∩BC＝B，所以DE⊥平面ABC．所以DE⊥AC． 　　因?yàn)?I>DE∩EF＝E，所以AC⊥平面DEF 　　(3)存在這樣的點(diǎn)N， 　　當(dāng)CN＝時(shí)，MN∥平面DEF． 　　連CM，設(shè)CM∩DE＝O，連OF． 　　由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM． 　　所以當(dāng)CF＝CN時(shí)，MN∥OF．所以CN＝．