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15.已知如圖幾何體,正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直,AF=2AB=2AD=2,M為AF的中點(diǎn),BN⊥CE,垂足為N.
(Ⅰ)求證:CF∥平面BDM;
(Ⅱ)求二面角M-BD-N的大�。�

分析 (Ⅰ)連接AC,BD交于O,連接MO,由三角形中位線定理可得OM∥CF,再由線面平行的判定得答案;
(Ⅱ)分別以AD,AB,AF所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面MBD與平面DNB的一個(gè)法向量,利用兩個(gè)平面法向量所成角求得二面角M-BD-N的大�。�

解答 (Ⅰ)證明:連接AC,BD交于O,連接MO,
∵M(jìn)為AF的中點(diǎn),∴OM∥CF,
∵OM?平面BDM,CF?平面BDM,
∴CF∥平面BDM;
(Ⅱ)解:分別以AD,AB,AF所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵AF=2AB=2AD=2,M為AF的中點(diǎn),BN⊥CE,
∴D(1,0,0),B(0,1,0),M(0,0,1),N(45,1,25),
DM=101,BM=011,
設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為m=x1y1z1
{mDM=x1+z1=0mBM=y1+z1=0,取z1=1,得m=111
DN=15125BN=45025,
設(shè)平面DNB的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,z2),
{nDN=15x2+y2+25z2=0nBN=45x2+25z2=0,取x2=1,得n=112
則cos<mn>=mn|m||n|=1×1+1×12×13×6=0
∴二面角M-BD-N的大小為90°.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定,考查了利用空間向量求二面角的平面角,考查空間想象能力和計(jì)算能力,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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