分析 (Ⅰ)連接AC,BD交于O,連接MO,由三角形中位線定理可得OM∥CF,再由線面平行的判定得答案;
(Ⅱ)分別以AD,AB,AF所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面MBD與平面DNB的一個(gè)法向量,利用兩個(gè)平面法向量所成角求得二面角M-BD-N的大�。�
解答 (Ⅰ)證明:連接AC,BD交于O,連接MO,
∵M(jìn)為AF的中點(diǎn),∴OM∥CF,
∵OM?平面BDM,CF?平面BDM,
∴CF∥平面BDM;
(Ⅱ)解:分別以AD,AB,AF所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵AF=2AB=2AD=2,M為AF的中點(diǎn),BN⊥CE,
∴D(1,0,0),B(0,1,0),M(0,0,1),N(45,1,25),
則→DM=(−1,0,1),→BM=(0,−1,1),
設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為→m=(x1,y1,z1),
則{→m•→DM=−x1+z1=0→m•→BM=−y1+z1=0,取z1=1,得→m=(1,1,1);
→DN=(−15,1,25),→BN=(45,0,25),
設(shè)平面DNB的一個(gè)法向量為→n=(x2,y2,z2),
則{→n•→DN=−15x2+y2+25z2=0→n•→BN=45x2+25z2=0,取x2=1,得→n=(1,1,−2).
則cos<→m,→n>=→m•→n|→m||→n|=1×1+1×1−2×1√3×√6=0.
∴二面角M-BD-N的大小為90°.
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定,考查了利用空間向量求二面角的平面角,考查空間想象能力和計(jì)算能力,是中檔題.
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