Question

A．（選修4-4坐標系與參數(shù)方程）已知點A是曲線ρ=2sinθ上任意一點，則點A到直線ρsin(θ+

π

3

)=4的距離的最小值是

 

．
B．（選修4-5不等式選講）不等式|x-log₂x|＜x+|log₂x|的解集是

 

．
C．（選修4-1幾何證明選講）如圖所示，AC和AB分別是圓O的切線，且OC=3，AB=4，延長AO到D點，則△ABD的面積是

 

．

Answer 1

分析：A  把曲線的極坐標方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式 求出圓心（0，1）到直線的距離，所求的距離
等于此距離減去半徑．
B 由不等式可得 x＞0，且log₂x＞0，故有 x＞1．
C  由勾股定理可得 AO，由 sinθ=

OB

AO

=

DE

AD

，可求得高DE，利用S△ABD=

1

2

•AB•DE 求得△ABD的面積．

解答：解：A 曲線ρ=2sinθ 即 x²+y²=2y，x²+（y-1）²=1，表示圓心在（0，1），半徑等于1的圓．
直線ρsin(θ+

π

3

)=4  即

1

2

y+

3

2

 x=4，

3

x+y-8=0，
圓心（0，1）到直線的距離等于 

|0+1-8|

3+1

=

7

2

，點A到直線ρsin(θ+

π

3

)=4的距離的最小值是

7

2

-1=

5

2

．
B   由對數(shù)函數(shù)的定義域知，x＞0． 
當log₂x=0時，x=1，經(jīng)檢驗，不等式不成立．
當log₂x＜0時，|x-log₂x|=x+|log₂x|，不等式不成立．
當log₂x＞0時，不等式|x-log₂x|＜x+|log₂x|成立，∴x＞1．
綜上，不等式的解集是 {x|x＞1}．
C  如圖：作 DE⊥AB，E為垂足，設(shè)∠BAO=θ，∵OC=OB=3，AB=AC=4，∴由勾股定理可得 AO=5．
AD=5+3=8，直角三角形BAO中，sinθ=

OB

AO

=

3

5

，直角三角形ADE 中，sinθ=

DE

AD

=

DE

8

，
∴

3

5

=

DE

8

，∴DE=

24

5

，S△ABD=

1

2

•AB•DE=

1

2

•4•

24

5

=

48

5

．

故答案為：A

5

2

；B（1，+∞）；C

48

5

．

點評：本題考查把極坐標方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用，絕對值不等式的解法，以及直角三角形中的邊角關(guān)系．