Question

已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，左準(zhǔn)線為l，能否在雙曲線的左支上求一點(diǎn)P，使|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項(xiàng)？若能，求出P的坐標(biāo)，若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：由題意得：a=5，b=12，c=13，F(xiàn)₁（-13，0），F(xiàn)₂（13，0），左準(zhǔn)線為l：x=-，
設(shè)點(diǎn)P（x，y），|PF₁|²=d•|PF₂|，又=e==，∴|PF₁|=•|PF₂|，
又|PF₂|-|PF₁|=10，∴|PF₁|=，|PF₂|=，
∵雙曲線左支上任意一點(diǎn)到F₁（-13，0）的距離最小為-5-（-13）=8＞，
故雙曲線左支上不存在點(diǎn)P，使|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項(xiàng)．
分析：先求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用題中條件、雙曲線的第一定義、第二定義，求出|PF₁|=，進(jìn)而分析出雙曲線左支上任意一點(diǎn)到F₁的距離最小為-5-（-13）=8＞，故點(diǎn)P不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題是個(gè)開(kāi)放型的題目，考查雙曲線的第一、第二定義，及雙曲線的性質(zhì)．