Question

13．如圖，四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，$DC=2AB=2，DA=\sqrt{3}$．
（1）線段BC上是否存在一點(diǎn)E，使平面PBC⊥平面PDE？若存在，請(qǐng)給出$\frac{BE}{CE}$的值，并進(jìn)行證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若PD=$\sqrt{3}$，線段PC上有一點(diǎn)F，且PC=3PF，求三棱錐A-FBD的體積．

Answer 1

分析 （1）存在線段BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，PE，推導(dǎo)出BC⊥DE，BC⊥PD，從而B(niǎo)C⊥平面PDE，由此得到平面PBC⊥平面PDE．
（2）三棱錐A-FBD的體積V_A-FBD=V_F-ABD，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）存在線段BC的中點(diǎn)E，使平面PBC⊥平面PDE，即$\frac{BE}{CE}$=1．
證明如下：
連結(jié)DE，PE，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=1，DA=$\sqrt{3}$，
∴BD=DC=2，
∵E為BC的中點(diǎn)，∴BC⊥DE，
∵PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，
∵DE∩PD=D，∴BC⊥平面PDE，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDE．
（2）∵PD⊥平面ABCD，且PC=3PF，
∴F到度面ABCD的距離為$\frac{2}{3}PD=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴三棱錐A-FBD的體積：
V_A-FBD=V_F-ABD=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足面面垂直的點(diǎn)的位置的確定與證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．