Question

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R（x）=3 700x+45x²-10x³（單位：萬(wàn)元），成本函數(shù)為C（x）=460x+5 000（單位：萬(wàn)元），又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）．
（1）求利潤(rùn)函數(shù)P（x）及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）；（提示：利潤(rùn)=產(chǎn)值-成本）
（2）問(wèn)年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大？
（3）求邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，并說(shuō)明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)利潤(rùn)=產(chǎn)值-成本，及邊際函數(shù)Mf（x）定義得出利潤(rùn)函數(shù)P（x）及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）；
（2）先對(duì)利潤(rùn)函數(shù)P（x）求導(dǎo)數(shù)，P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，從而求得其最大值，即可得出年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大．
（3）根據(jù)MP（x）=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305．利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究它的單調(diào)性，最后得出單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義即可．
解答：解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3240x-5000（x∈N*，且1≤x≤20）；
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-30x²+60x+3275（x∈N*，且1≤x≤19）．
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），
∵x＞0，∴P′（x）=0時(shí)，x=12，
∴當(dāng)0＜x＜12時(shí)，
P′（x）＞0，當(dāng)x＞12時(shí)，P′（x）＜0，
∴x=12時(shí)，P（x）有最大值．
即年造船量安排12艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大．
（3）MP（x）=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305．
所以，當(dāng)x≥1時(shí)，MP（x）單調(diào)遞減，
所以單調(diào)減區(qū)間為[1，19]，且x∈N^*．
MP（x）是減函數(shù)的實(shí)際意義，隨著產(chǎn)量的增加，每艘利潤(rùn)與前一艘利潤(rùn)比較，利潤(rùn)在減少．
點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，把問(wèn)題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式，這需要通過(guò)分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成．函數(shù)的最值要由極值和端點(diǎn)的函數(shù)值確定．當(dāng)函數(shù)定義域是開(kāi)區(qū)間且在區(qū)間上只有一個(gè)極值時(shí)，這個(gè)極值就是它的最值．