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16.橢圓x25+3y25=1與過點C(-1,0)且斜率為k的直線交于A、B兩點.
(1)若線段AB的中點為(-12,n),求k的值;
(2)在x軸上是否存在一個定點M,使得MAMB的值為常數(shù),若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

分析 (1)設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,得到關(guān)于x的二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解;本題也可用點差法求解.
(2)對于存在性問題,先假設(shè)存在,再進(jìn)行推到,若能推出一正確結(jié)論,則存在,否則就不存在;由題意,建立關(guān)系式,利用多項式恒成立問題的求解方法即可求解.

解答 解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
直線AB為y=k(x+1)與x25+3y25=1
聯(lián)立得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0,△=4(12k2+5)>0,
則有x1+x2=6k23k2+1x1x2=3k253k2+1,
12=x1+x22=3k23k2+1,
解之得k=±33
(2)假設(shè)在x軸上存在一個定點M(x0,0)滿足題意,\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=λ,λ常數(shù),
\overrightarrow{MA}=({x}_{1}-{x}_{0},{y}_{1}),\overrightarrow{MB}=({x}_{2}-{x}_{0},{y}_{2}),
\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=({x}_{1}-{x}_{0})({x}_{2}-{x}_{0})+{y}_{1}{y}_{2}
={x}_{1}{x}_{2}-{x}_{0}({x}_{1}+{x}_{2})+{{x}_{0}}^{2}+{y}_{1}{y}_{2}
=({k}^{2}+1){x}_{1}{x}_{2}+({k}^{2}-{x}_{0})({x}_{1}+{x}_{2})+{{x}_{0}}^{2}+k2
=\frac{{({3x_0^2+6{x_0}-1}){k^2}+x_0^2-5}}{{3{k^2}+1}}=λ
\left\{{\begin{array}{l}{3x_0^2+6{x_0}-1=3λ}\\{x_0^2-5=λ}\end{array}}\right.,即3x_0^2+6{x_0}-1=3x_0^2-15,解之得{x_0}=-\frac{7}{3}
∴存在M({-\frac{7}{3},0}),滿足題意.

點評 本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系問題.真確理解與運用設(shè)而不求的思想方法是解題關(guān)鍵.本題對運算能力的要求較高,屬于中等難度題.

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