Question

某校學生社團心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)P與聽課時間t之間的關系滿足如圖所示的曲線．當t∈（0，14]時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當t∈[14，40]時，曲線是函數(shù)y=log_α（x-5）+83（a＞0且a≠1）圖象的一部分．根據(jù)專家研究，當注意力指數(shù)P大于等于80時聽課效果最佳．
（1）試求P=f（t）的函數(shù)關系式；
（2）老師在什么時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學生聽課效果最佳？
請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用所給函數(shù)圖象求出當t∈（0，14]時，是一段二次函數(shù)的圖象，可設f（t）=c（t-12）²+82（c＜0）進行求解；當t∈（14，40]時，將已知點的坐標代入y=log_a（x-5）+83，求解即得其解析式最后利用分段函數(shù)的形式寫出求P=f（t）的函數(shù)關系式即可；
（2）欲知老師在什么時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學生聽課效果最佳，只須令p≥80，求出相應的x值即可，即老師在相應的時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學生聽課效果最佳．

解答：解：（1）t∈（0，14]時，設p=f（t）=c（t-12）²+82（c＜0），
將（14，81）代入得c=-

1

4

t∈（0，14]時，p=f（t）=-

1

4

（t-12）²+82（4分）
t∈（14，40]時，將（14，81）代入y=log_a（x-5）+83，得a=

1

3

（6分）
∴p=f(t)=

- 1 4 (t-12)2+82，t∈(0，14] log 1 3 (t-5)+83，t∈(14，40]

．（7分）
（2）t∈（0，14]時，-

1

4

（t-12）²+82≥80
解得12-2

2

≤t≤12+2

2

，
∴t∈[12-2

2

，14]（11分）
t∈[14，40]時，log

1

3

（t-5）+83≥80解得5＜t≤32，
∴t∈[14，32]，∴t∈[12-2

2

，32]，（15分）
即老師在t∈[12-2

2

，32]時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學生聽課效果最佳．（16分）

點評：本題考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想，屬于基礎題．解決實際問題關鍵是建立數(shù)學模型．