Question

已知ω=z+i（i∈C），

z-2

z+2

是純虛數(shù)，又|ω+1|²+|ω-1|²=16，求ω．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：設(shè)z=a+bi，a，b∈R，由

z-2

z+2

是純虛數(shù)可得a，b的關(guān)系式，由|ω+1|²+|ω-1|²=16可得ab的值，進(jìn)而可得．

解答： 解：設(shè)z=a+bi，a，b∈R，
∴

z-2

z+2

=

(a-2)+bi

(a+2)+bi

=

a2+b2-4+4bi

(a+2)2+b2

，
∵

z-2

z+2

是純虛數(shù)，∴

a2+b2-4=0 b≠0

，
∴|ω+1|²+|ω-1|²=|（a+1）+（b+1）i|²+|（a-1）+（b+1）i|²
=（a+1）²+（b+1）²+（a-1）²+（b+1）²
=2（a²+b²）+4b+4=8+4b+4
=12+4b=16，解得b=1，
∴a=±

3

，
∴z=±

3

+i，ω=z+i=±

3

+2i

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的綜合運(yùn)算，涉及純虛數(shù)和模長(zhǎng)公式，屬中檔題．