Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-bx-

a

x

（a、b為常數(shù)），在x=1時取得極值．
（1）求實數(shù)a-b的值；
（2）當a=-1時，求函數(shù)g（x）=f（x）+2x的最小值；
（3）當n∈N^*時，試比較(

n

n+1

)n(n+1)與(

1

e

)n+2的大小并證明．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）因為x=1時函數(shù)取得極值，得f′（1）=0，即可得到；
（2）求出導函數(shù)g′（x），然后由導函數(shù)的正負得到x的取值范圍，進而得到g（x）的最小值；
（3）令h(x)=lnx+

2

x

+x，借助于導數(shù)得到h（x）在x=1時取得最小值3，故h(

n

n+1

)=ln

n

n+1

+

2(n+1)

n

+

n

n+1

＞3，
整理即得到n(n+1)ln

n

n+1

＞-(n+2)，即得證．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

-b+

a

x2

=

-bx2+x+a

x2

由于函數(shù)在x=1時取得極值，則f′（1）=-b+1+a=0
∴a-b=-1；
（2）a=-1時  b=a+1=0
則g(x)=lnx+

1

x

+2x（x＞0）
g′(x)=

1

x

-

1

x2

+2=

2x2+x-1

x2

（x＞0）
∴g（x）在(0，

1

2

]上單調(diào)遞減，在[

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增  
又由g(

1

2

)=3-ln2
∴當x=

1

2

時，g（x）取最小值3-ln2；
（3）令h(x)=lnx+

2

x

+x，h′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

（x＞0），
∴h（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增 
又由h（1）=3，
∴h(x)=lnx+

2

x

+x≥3當且僅當x=1時取最小值，
∵0＜

n

n+1

＜1，∴h(

n

n+1

)=ln

n

n+1

+

2(n+1)

n

+

n

n+1

＞3
∴ln

n

n+1

+

2

n

-

1

n+1

＞0即ln

n

n+1

+

n+2

n(n+1)

＞0
∴n(n+1)ln

n

n+1

＞-(n+2)，
∴(

n

n+1

)n(n+1)＞(

1

e

)n+2

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的正負對應著函數(shù)的增減，要注意極值點一定是導函數(shù)對應方程的根，但是導函數(shù)對應方程的根不一定是極值點．屬于中檔題．