Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N）．
（1）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（2）設(shè)b_n=，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）設(shè)c_n=a_nsin，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．求證：對任意的n∈N^*，T_n＜．

Answer 1

解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為-2的等比數(shù)列．
（2）依（1）的結(jié)論有，
即．
b_n=（3•2^n-1+1）²=9•4^n-1+6•2^n-1+1．
．
（3）∵，
∴．
當(dāng)n≥3時(shí)，
則＜
=．
∵T₁＜T₂＜T₃，
∴對任意的n∈N^*，．
分析：（1）根據(jù)題意，對進(jìn)行變形可得，從而證得結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）求出數(shù)列a_n，從而求得b_n，利用分組求和法即可求得結(jié)果；
（3）首先確定出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，利用放縮的思想將數(shù)列的每一項(xiàng)進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問題達(dá)到證明不等式的目的．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式確定數(shù)列的思想，根據(jù)遞推公式確定出數(shù)列是否滿足特殊數(shù)列的定義，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想．第（3）問考查學(xué)生的不等式放縮的技巧與方法，關(guān)鍵要將數(shù)列{c_n}的每一項(xiàng)進(jìn)行放縮轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列從而達(dá)到求和證明的目的，屬難題．