Question

已知函數f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（Ⅰ）設x=x₀是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（x₀）的值．
（Ⅱ）求函數h（x）=f（x）+g（x）的單調遞增區(qū)間．
（Ⅲ）求最小正實數m，使得函數h（x）的圖象左平移m個單位所對應的函數是偶函數．

Answer 1

考點：復合三角函數的單調性,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由二倍角公式可得f（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，由對稱軸可得2x₀+

π

6

=kπ，k∈Z，代值計算可得；
（Ⅱ）由三角函數公式可得h（x）=f（x）+g（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+1+

1

2

sin2x=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

），解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得單調遞增區(qū)間；
（Ⅲ）由圖象變換可知只需向左平移

π

12

個單位即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos²（x+

π

12

）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，
又∵x=x₀是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，
∴2x₀+

π

6

=kπ，k∈Z，∴2x₀=kπ-

π

6

，
∴g（x₀）=1+

1

2

sin2x₀=

3

4

；
（Ⅱ）由題意可得h（x）=f（x）+g（x）
=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+1+

1

2

sin2x
=

3

2

+

1

2

（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x+sin2x）
=

3

2

+

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）
=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

∴h（x）單調遞增區(qū)間為[得kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]．（k∈Z）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知h（x）=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

），
由圖象變換可知只需向左平移

π

12

個單位，
可得y=

3

2

+

1

2

sin[2（x+

π

12

）+

π

3

]=

3

2

+

1

2

cos2x，為偶函數，
∴所求最小正實數m為

π

12

點評：本題考查三角函數圖象的變換和性質，涉及復合函數的單調性和函數的奇偶性，屬中檔題．