Question

過(guò)x軸上動(dòng)點(diǎn)A（a，0），引拋物線y=x²+1的兩條切線AP、AQ．切線斜率分別為k₁和k₂，切點(diǎn)分別為P、Q．
（1）求證：k₁•k₂為定值；并且直線PQ過(guò)定點(diǎn)；
（2）記S為面積，當(dāng)

S△APQ

| PQ |

最小時(shí)，求

AP

•

AQ

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，由韋達(dá)定理得出：k₁•k₂的值；設(shè)出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出PQ方程，由根與系數(shù)關(guān)系代入并化簡(jiǎn)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)

S△APQ

| PQ |

最小時(shí)，即A點(diǎn)到直線PQ的距離的最小值，利用基本不等式，求出a的值，代入

AP

•

AQ

式子中即可．

解答： 解：（1）證明：易知切線的斜率存在，設(shè)過(guò)A點(diǎn)的直線為：y=k（x-a），
由

y=k(x-a) y =x 2+1

得：x²-kx+ka+1=0，△=k²-4ak-4=0，
∴k₁+k₂=4a，k₁•k₂=-4為定值．
由y=x²+1，得y'=2x，設(shè)切點(diǎn)P、Q坐標(biāo)分別為P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q），k₁=2x_p，k₂=2x_q
∴x_p+x_q=2a，x_p•x_q=-1，
PQ的直線方程：y-yp=

yp-yq

xp-xq

(x-xp)，由yp=xp2+1，yq=xq2+1
得到y=(xp+xq)x-xp

x

q

+1
整理可得y=2xa+2，∴直線PQ過(guò)定點(diǎn)（0，2）．
（2）解：設(shè)A到PQ的距離為d．則S△APQ=|PQ|×

d

2

，
∴

S△APQ

|PQ|

=

d

2

=

2a2+2

2 4a2+1

=

a2+1

4a2+1

，
設(shè)t=

4a2+1

≥1，∴

S△APQ

|PQ|

=

t2+3

4t

≥

3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

3

時(shí)取等號(hào)，即a=±

2

2

．
∵

AQ

•

AP

=(xp-a，yp)•(xQ-a，yQ)=xpxQ-a(xp+xQ)+a2+ypyQ
又∵ypyQ=(2xpa+2)(2xQa+2)=4a2xpxQ+4+4a(xp+xQ)=4a2+4
所以

AQ

•

AP

=3a2+3=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是考查直線與圓錐曲線相交、定點(diǎn)、定值、最值的問(wèn)題，用到設(shè)而不求，韋達(dá)定理，基本不等式，等價(jià)轉(zhuǎn)換等思想．是一道綜合性非常強(qiáng)的圓錐曲線問(wèn)題．