Question

（2012•邯鄲一模）已知函數(shù)f（x）=

ax-1

ex

．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任意t∈[

1

2

，2]，f（t）＞t恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若對(duì)任意t∈[

1

2

，2]，f（t）＞t恒成立，則x∈[

1

2

，2]時(shí)，

ax-1

ex

＞x恒成立，即x∈[

1

2

，2]時(shí)，a＞ex+

1

x

恒成立，確定右邊函數(shù)的最大值即可．

解答：解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

x-1

ex

，∴f′(x)=

-x+2

ex

由f′（x）＞0得x＜2，f′（x）＜0得x＞2
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，2），單調(diào)遞減區(qū)間為（2，+∞）．
（II）若對(duì)任意t∈[

1

2

，2]，f（t）＞t恒成立，則x∈[

1

2

，2]時(shí)，

ax-1

ex

＞x恒成立，
即x∈[

1

2

，2]時(shí)，a＞ex+

1

x

恒成立
設(shè)g(x)=ex+

1

x

，x∈[

1

2

，2]，則g′(x)=ex-

1

x2

，x∈[

1

2

，2]，
設(shè)h(x)=ex-

1

x2

，∵h′(x)=ex+

2

x3

＞0在x∈[

1

2

，2]上恒成立
∴h（x）在x∈[

1

2

，2]上單調(diào)遞增
即g′(x)=ex-

1

x2

在x∈[

1

2

，2]上單調(diào)遞增
∵g′(

1

2

)=e

1

2

-4＜0，g′(2)=e2-

1

4

＞0
∴g′(x)=ex-

1

x2

在[

1

2

，2]有零點(diǎn)m
∴g(x)=ex+

1

x

在[

1

2

，m]上單調(diào)遞減，在（m，2]上單調(diào)遞增
∴

a＞g( 1 2 ) a＞g(2)

，即

a＞ e +2 a＞e2+ 1 2

，
∴a＞e2+

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．