Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形，PD⊥底面ABCD，設(shè)PD=，M、N分別是PB、AB的中點(diǎn)．
（I）求異面直線MN與PD所成角的大小；
（II）求二面角P-DN-M的大�。�

Answer 1

解：（I）∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形，PD⊥底面ABCD，設(shè)PD=，M、N分別是PB、AB的中點(diǎn)．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則M（2，2，2），N（4，2，0），P（0，0，），D（0，0，0）
則=（2，0，-2），=（0，0，-），
設(shè)異面直線MN與PD所成角為θ
則cosθ==
∴θ=
（II）設(shè)=（a，b，c）為平面PDN的一個(gè)法向量
則，即
令a=1，則=（1，-2，0）平面PDN的一個(gè)法向量
設(shè)=（x，y，z）為平面DMN的一個(gè)法向量
則，即
令z=1，則=（，-2，1）為平面DMN的一個(gè)法向量
設(shè)二面角P-DN-M的平面角為α
則cosα==
∴二面角P-DN-M的大小為arccos
分析：（I）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出異面直線MN與PD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出異面直線MN與PD所成角的大�。�
（II）分別求出平面PDN的一個(gè)法向量和平面DMN的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可以求出二面角P-DN-M的余弦值，進(jìn)而得到二面角P-DN-M的大小．
點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，異面直線及其所成的角，解答此類問題的關(guān)鍵是，建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，求出對應(yīng)直線的方向向量及平面的法向量，將空間異面直線的夾角問題及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題．