Question

在某次水下考古活動(dòng)中，需要潛水員潛入水深為30米的水底進(jìn)行作業(yè)．其用氧量包含3個(gè)方面：①下潛時(shí)，平均速度為v（米/單位時(shí)間），單位時(shí)間內(nèi)用氧量為cv²（c為正常數(shù)）；②在水底作業(yè)需5個(gè)單位時(shí)間，每個(gè)單位時(shí)間用氧量為0.4；③返回水面時(shí)，平均速度為（米/單位時(shí)間），單位時(shí)間用氧量為0.2．記該潛水員在此次考古活動(dòng)中，總用氧量為y．
（1）將y表示為v的函數(shù)；
（2）設(shè)0＜v≤5，試確定下潛速度v，使總的用氧量最少．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別計(jì)算潛入水底用時(shí)、用氧量；水底作業(yè)時(shí)用氧量；返回水面用時(shí)、用氧量，即可得到總用氧量的函數(shù)；
（2）利用基本不等式可得時(shí)取等號(hào)，再結(jié)合0＜v≤5，即可求得確定下潛速度v，使總的用氧量最少．
解答：解：（1）潛入水底用時(shí)，用氧量為，水底作業(yè)時(shí)用氧量為5×0.4=2，返回水面用時(shí)，用氧量為=，
∴總用氧量y=（v＞0）；
（2）y=≥2+2=2+12，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)
當(dāng)≤5，即時(shí)，時(shí)，y的最小值為2+12，
當(dāng)＞5，即時(shí)，y′=0，
∴函數(shù)在（0，5]上為減函數(shù)
∴v=5時(shí)，y的最小值為．
綜上，當(dāng)時(shí)，下潛速度為時(shí)，用氧量最小值為2+12；
當(dāng)時(shí)，下潛速度為5時(shí)，用氧量最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．