Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（c，0），以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，經(jīng)過A作圓的切線，切線的傾斜角為150°，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  2

  +1
• B、

  2

• C、

  3

  +1
• D、

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（m，n），根據(jù)切線垂直于過切點的半徑算出n=

3

m．而以點O為圓心，c為半徑的圓方程為x²+y²=c²，將A的坐標代入圓方程，算出點A的坐標，將此代入雙曲線方程，并結(jié)合c²=a²+b²化簡整理，再根據(jù)離心率公式整理得e⁴-8e²+4=0，解之即可得到該雙曲線的離心率．

解答： 解：設(shè)A的坐標為（m，n），
由于經(jīng)過A作圓的切線，切線的傾斜角為150°，
即切線的斜率為-

3

3

，
可得直線AO的斜率滿足k=

3

，即n=

3

m①
∵以點O為圓心，c為半徑的圓方程為x²+y²=c²
∴將①代入圓方程，得m²+3m²=c²，解得m=

1

2

c，n=

3

2

c，
將點A（

1

2

c，

3

2

c）代入雙曲線方程，得

c2 4

a2

-

3 4 c2

b2

=1，
化簡得：

1

4

c²b²-

3

4

c²a²=a²b²，
∵c²=a²+b²
∴b²=c²-a²代入上式，化簡整理得c⁴-8c²a²+4a⁴=0
兩邊都除以a⁴，整理得e⁴-8e²+4=0，解之得e²=4+2

3

或e²=4-2

3

，
∵雙曲線的離心率e＞1，∴該雙曲線的離心率e=

3

+1．
故選C．

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．