Question

甲、乙兩人進(jìn)行兵乓球比賽，在每一局的比賽中，甲獲勝的概率為p（0＜p＜1）．
（1）如果甲，乙兩人共比賽4局，甲恰好負(fù)2局的概率不大于其恰好勝3局的概率，試求p的取值范圍．
（2）若p=

1

3

，當(dāng)采用3局2勝制的比賽規(guī)則時(shí)，求甲獲勝的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)每一局比賽甲獲勝為事件A，則0＜P（A）＜1，則由題意知

C

2 4

•P²•（1-P）²≤

C

3 4

•P³•（1-P），由此求得p的取值范圍．
（2）甲獲勝，則比賽前2局甲全勝，或比賽3局，前2局甲勝1局，第3局甲勝，由此根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式，求得甲獲勝的概率．

解答： 解：（1）設(shè)每一局比賽甲獲勝為事件A，則0＜P（A）＜1，則由題意知

C

2 4

•P²•（1-P）²≤

C

3 4

•P³•（1-P），
即 6P²•（1-P）²≤4 P³•（1-P），求得P=0，或

3

5

≤P＜1．
（2）甲獲勝，則比賽前2局甲全勝，或比賽3局，前2局甲勝1局，第3局甲勝．
故甲獲勝的概率為

C

2 2

•(

1

3

)2+

C

1 2

×

1

3

×

2

3

×

1

3

=

7

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，等可能事件的概率，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．