Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，首項a₁=1，公比q=f(λ)=

λ

1+λ

(λ≠-1，0)．
（Ⅰ）證明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b1=

1

2

，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）若λ=1，記cn=an(

1

bn

-1)，數(shù)列{c_n}的前項和為T_n，求證：當n≥2時，2≤T_n＜4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，再表達出an=(

λ

1+λ

)n-1，故可證；
（II）先求出b_n，再進一步變形，判斷出 {

1

bn

}是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出{b_n}的通項公式；
（III）先求出C_n，再由錯位相減法求出該數(shù)列的前n項和為T_n．

解答：解：（Ⅰ）證明：Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

a1[1-( λ 1+λ )n]

1- λ 1+λ

=(1+λ)[1-(

λ

1+λ

)n]=(1+λ)-λ(

λ

1+λ

)n-1
而an=a1(

λ

1+λ

)n-1=(

λ

1+λ

)n-1所以S_n=（1+λ）-λa_n（4分）
（Ⅱ）f(λ)=

λ

1+λ

，∴bn=

bn-1

1+bn-1

，∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，（6分）

∴{

1

bn

}是首項為

1

b1

=2，公差為1的等差數(shù)列，

1

bn

=2+(n-1)=n+1，即bn=

1

n+1

．（8分）

（Ⅲ）λ=1時，an=(

1

2

)n-1，∴cn=an(

1

bn

-1)=n(

1

2

)n-1（9分）
∴Tn=1+2(

1

2

)+3(

1

2

)2++n(

1

2

)n-1∴

1

2

Tn=

1

2

+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3++n(

1

2

)n
相減得∴

1

2

Tn=1+(

1

2

)+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=2[1-(

1

2

)n]-n(

1

2

)n
∴Tn=4-(

1

2

)n-2-n(

1

2

)n-1＜4，（12分）
又因為cn=n(

1

2

)n-1＞0，∴T_n單調(diào)遞增，
∴T_n≥T₂=2，故當n≥2時，2≤T_n＜4．（13分）

點評：本題是數(shù)列的綜合題，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，涉及了錯位相減法求數(shù)列的前n項和，考查了分析問題和解決問題的能力．