Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC中點(diǎn)，AC與BD交于O點(diǎn)．
（1）求證：PA∥面EDB；
（2）求證：BC⊥面PCD；
（3）求PB與面PCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接EO，根據(jù)中線性質(zhì)可得OE∥PA，進(jìn)而可得PA∥面EDB；
（2）先由已知得：PD⊥面ABCD推得PD⊥BC，再結(jié)合ABCD是正方形對(duì)應(yīng)的BC⊥CD即可證：BC⊥面PCD；
（3）先由條件求出∠BPC就是PB與面PCD所成的角，再通過求三角形邊長即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）連接EO，由平行四邊形ABCD知：O為AC中點(diǎn)
在△PAC中，∵PE=EC，AO=OC
∴OE∥PA
又OE?面EDB，PA?面EDB
∴PA∥面EDB----------------------------------（3分）
（2）由已知得：PD⊥面ABCD
∴PD⊥BC
∵ABCD是正方形
∴BC⊥CD
又PD∩CD=D
∴BC⊥面PCD------------------------------------（6分）
（3）由（2）知：PB在面PCD內(nèi)的射影是PC
∴∠BPC就是PB與面PCD所成的角．------------------------------（7分）
設(shè)PD=DC=a，則PC=

2

a
∴在△PBC中，∠PCB=90°，PC=

2

a，BC=a
∴tan∠BPC=

BC

PC

=

a

2 a

=

2

2

∴PC與面PCD所成角的正切值為

2

2

．------------------------------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行，線面垂直以及線面所成的角．線面平行的證明一般轉(zhuǎn)化為線線平行或面面平行．