已知橢圓C的方程為x2+=1,點P(a,b)的坐標(biāo)滿足a2+
≤1,過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點,點Q為線段AB的中點,求:
(1)點Q的軌跡方程;
(2)點Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點的個數(shù).
解:(1)設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),點Q的坐標(biāo)為Q(x,y). 當(dāng)x1≠x2時,設(shè)直線斜率為k,則l的方程為y=k(x-a)+b. 由已知x12+ y1=k(x1-a)+b ③,y2=k(x2-a)+b ④ ①-②得(x1+x2)(x1-x2)+ ③+④得y1+y2=k(x1+x2)-2ka+2b ⑥ 由⑤、⑥及 得點Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0 ⑦ 當(dāng)x1=x2時,k不存在,此時l平行于y軸,因此AB的中點Q一定落在x軸,即Q的坐標(biāo)為(a,0),顯然點Q的坐標(biāo)滿足方程⑦ 綜上所述,點Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0. 設(shè)方程⑦所表示的曲線為l. 則由 因為Δ=8b2(a2+ 所以當(dāng)a2+ 當(dāng)a2+ 因為(0,0)在橢圓C內(nèi),又在曲線l上,所以曲線l在橢圓C內(nèi). 故點Q的軌跡方程為2x2+y2-2ax-by=0; (2)由 由 當(dāng)a=0,b=0,即點P(a,b)為原點時,(a,0)、(0,b)與(0,0)重合,曲線l與x軸只有一個交點(0,0); 當(dāng)a=0且0<|b|≤ 同理,當(dāng)b=0且0<|a|≤1時,即點P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時,曲線l與坐標(biāo)軸有兩個交點(a,0)與(0,0); 當(dāng)0<|a|<1且0<|b|< |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
AF2 |
F2B |
F1F2 |
EA |
BE |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
OP |
OM |
ON |
1 |
2 |
x | 2 0 |
y | 2 0 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
OP |
OQ |
a |
1 |
2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x 2 |
4 |
y2 |
3 |
m |
OA |
OB |
m |
OF |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題
x 2 |
4 |
y2 |
3 |
m |
OA |
OB |
m |
OF |
A.2x-y-2=0 | B.2x+y-2=0 | C.2x-y+2=0 | D.2x+y+2=0 |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com