Question

8．已知拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上且開口向右，焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為4，定點(diǎn)M（-2，2），過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，
（1）拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，求直線的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出拋物線方程，利用焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為4，求出p，即可求拋物線的方程；
（2）若$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，利用韋達(dá)定理，建立方程，即可求直線的方程．

解答 解：（1）由已知可令所求拋物線的方程為y²=2px（p＞0），而焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為4，所以p=4，故所求拋物線C：y²=8x   …（4分）
（2）由題意可知：斜率k≠0，設(shè)直線AB為my=x-2，其中m=$\frac{1}{k}$．
聯(lián)立拋物線方程得到y(tǒng)²-8my-16=0，△＞0，…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16．…（8分）
又$\overrightarrow{MA}$=（x₁+2，y₁-2），$\overrightarrow{MB}$=（x₂+2，y₂-2），
所以$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁+2）（x₂+2）+（y₁-2）（y₂-2）=（my₁+4）（my₂+4）+（y₁-2）（y₂-2）
=（m²+1）y₁y₂+（4m-2）（y₁+y₂）+20
=-16（m²+1）+（4m-2）×8m+20=4（2m-1）²．
由4（2m-1）²=0，解得m=$\frac{1}{2}$．
所以k=$\frac{1}{m}$=2．
故所求的直線方程是y=2x-4．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．