Question

（滿分13分）如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中點(diǎn)，

求證：（1）FD∥平面ABC;

（2）AF⊥平面EDB．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）取的中點(diǎn),連接,利用三角形的中位線定理得出四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明；（2）利用等腰三角形的三線合一證明,再利用線面垂直的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明．

解題思路: 空間中線面的平行或垂直關(guān)系的判定與證明，要注意線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，合理結(jié)合平面幾何知識(shí)進(jìn)行證明．

試題解析：（1）取AB中點(diǎn)G，連CG，F(xiàn)G，由已知中F是BE的中點(diǎn)，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)，可得FG平行且等于AE的一半，又由EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=2a，DC=a，可得四邊形DEGC是平行四邊形，進(jìn)而得到DF∥CG，由線面平行的判定定理即可得到FD∥平面ABC；

（2）由已知中EA垂直于平面ABC，則EA⊥CG，又由△ABC是正三角形，可得CG⊥AB，由線面垂直的判定定理，可得CG⊥平面EAB，進(jìn)而DF⊥平面EAB，結(jié)合面面垂直的判定定理即可得到平面EAB⊥平面EDB．

證明：（1）取AB中點(diǎn)G，連CG，F(xiàn)G

四邊形DEGC是平行四邊形，

得到DF∥CG

DF?平面ABC，CG?平面ABC

所以FD∥平面ABC；

（2）可以證明CG⊥平面EAB，

又DF∥CG，所以DF⊥平面EAB

DF?平面EBD，所以，平面EAB⊥平面EDB

考點(diǎn)：1．線面平行的判定；2．線面垂直的判定與性質(zhì)．