Question

設數(shù)列a_n的前n項和為S_n，對n∈N^*，都有a_n=5S_n+2成立，
（Ⅰ） 求數(shù)列a_n的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列b_n=log₂|a_n|，試求數(shù)列b_n的前n項和M_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=5S₁+2=5a₁+2，
∴，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=，
∴，即，
∴數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，其首項，公比為，
∴數(shù)列a_n的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=（-1）ⁿ•2^1-2n，
∴b_n=log₂|a_n|=1-2n，
∵b_n+1-b_n=-2，
∴{a_n}為等差數(shù)列，且首相為b₁=-1，公差為-2，
∴．
分析：（Ⅰ）把n=1代入a_n=5S_n+2，即可求出首項的值，當n大于等于1時，利用a_n=S_n-S_n-1，即可確定出此數(shù)列為等比數(shù)列，且得到等比數(shù)列的公比的值，根據(jù)求出的首項和公比寫出通項公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通項公式代入b_n=log₂|a_n|中，利用對數(shù)的運算法則化簡后，即可確定出數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，分別求出等差數(shù)列的首項和公差，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式求出數(shù)列{b_n}的前n項和M_n即可．
點評：此題考查學生掌握等比數(shù)列及等差數(shù)列的確定方法，靈活運用等比數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的前n項和的公式化簡求值，是一道中檔題．