設A、B是橢圓3x2＋y2＝λ上的兩點，點N(1，3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點．

(Ⅰ)確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程；

(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的λ，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解法1：依題意，可設直線AB的方程為整理，

　　得�、�

　　設①的兩個不同的根，

　　�、�

　　是線段AB的中點，

　　得

　　解得＝－1，代入②得，＞12，即的取值范圍是(12，＋)．

　　于是，直線AB的方程為

　　解法2：設

　　

　　依題意，

　　

　　(Ⅱ)解法1：代入橢圓方程，

　　整理得　③

　　③的兩根，

　　

　　于是由弦長公式可得　④

　　將直線AB的方程�、�

　　同理可得　⑥

　　

　　假設在在＞12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心．點M到直線AB的距離為　⑦

　　于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

　　

　　故當時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，為半徑的圓上．

　　(注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：

　　A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角

　　�、�

　　由⑥式知，⑧式左邊＝

　　由④和⑦知，⑧式右邊＝

　　

　　∴⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓

　　解法2：由(Ⅱ)解法1及．

　　代入橢圓方程，

　　整理得③解得．

　　將直線AB的方程代入橢圓方程，整理得

　　⑤解得．

　　不妨設

　　∴

　　

　　計算可得，∴A在以CD為直徑的圓上．

　　又點A與B關于CD對稱，∴A、B、C、D四點共圓．

　　(注：也可用勾股定理證明AC⊥AD)


練習冊系列答案
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