Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓的一個焦點和拋物線的焦點相同，過橢圓右焦點F且垂直軸的弦長為2.

（I）求橢圓C的方程；

（II）若與直線相垂直的直線與橢圓C交于B、D兩點，求的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）

【解析】

試題分析：(I)根據拋物線和橢圓的性質即可求出橢圓的方程為；(Ⅱ)．根據題意，設方程為，設與橢圓交于點，

聯立方程，得． ，解得，由韋達定理得，可得 ，又因為點O到直線的距離所以，即可求的面積的最大值為.

試題解析：【解析】
(I)因為拋物線的焦點坐標為 ，

把直線 代人橢圓方程，得，，

即 ，即，得，

∴橢圓方程為，

(Ⅱ)．，可設方程為，

設與橢圓交于點，

聯立方程，得．

，解得，

由韋達定理得

又因為點O到直線的距離

所以

（當且僅當，即時取到最大值）

經驗證滿足，

所以面積的最大值為.

考點：1.橢圓的標準方程和性質；2 .直線與橢圓的位置關系.