Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明“5ⁿ-2ⁿ能被3整除”的第二步中，n=k+1時(shí)，為了使用歸納假設(shè)，應(yīng)將5^k+1-2^k+1變形為    ．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的數(shù)學(xué)歸納法的步驟，在使用數(shù)學(xué)歸納法證明“5ⁿ-2ⁿ能被3整除”的過(guò)程中，由n=k時(shí)成立，即“5^k-2^k能被3整除”時(shí)，為了使用已知結(jié)論對(duì)5^k+1-2^k+1進(jìn)行論證，在分解的過(guò)程中一定要分析出含5^k-2^k的情況．
解答：解：假設(shè)n=k時(shí)命題成立．
即：5^k-2^k被3整除．
當(dāng)n=k+1時(shí)，
5^k+1-2^k+1=5×5^k-2×2^k
=5（5^k-2^k）+5×2^k-2×2^k
=5（5^k-2^k）+3×2^k
故答案為：5（5^k-2^k）+3×2^k
點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．